In the previous handout, the concepts of work and energy were introduced to dynamics.  These are integrals of the dynamic forces with respect to displacement, and applying the work-energy equations avoided having to find accelerations in order to determine velocities.  Similarly, the dynamic forces can be integrated with respect to time, leading to impulse and momentum formulations.  The conservation of momentum can be used to simplify the analysis of dynamics problems and offer elegant new insights.

8.1 Linear Momentum of Particles

Consider the planar motion of a particle of mass m, under applied net force F .

is defined as the linear momentum of the particle; it is a vector quantity with units Ns.  In other words, the time derivative of the momentum vector p is equal to the force F applied to the particle.  Note that the force (acceleration) and momentum (velocity) vectors will generally not be aligned!

The time integral of the applied force f is known as the linear impulse:

(8.3)

and is equal to the change in linear momentum ∆p; this may involve changes in both magnitude and direction of the linear momentum. Thus, if no net external force is applied, the linear momentum must be conserved.

Example 8.2 – Sliding Ladder

Consider a ladder standing on a smooth surface and leaning against a frictionless wall.  Due to the absence of friction, the ladder will slide down and gain a horizontal, vertical and angular velocity.

The work done by the weight mg increases the kinetic energy as the ladder slides down, and although the reaction forces do no work, they impart a linear impulse: the horizontal reaction force results in a horizontal velocity of the ladder!

Example 8.3 – Aircraft Lift

Aircraft lift — or, how does a plane stay in the sky? — can in part be explained by the change in momentum of the incoming air flow, which is diverted downward by the wing. The lift force L is the vertical component of R = dp/dt.

Example 8.4 – Two Masses and a Spring

Two masses, m1  = 1 kg and m2  = 2 kg, are connected by a spring with stiffness of k = 5 N/m with a rest length of Ld  = 1 m, and m2  is given an initial horizontal velocity vd  = 2 m/s. As illustrated by the simulation results, the centre of mass travels uniformly while the two masses move seemingly erratically as a result of the varying spring force.

8.3 Impact of Particles

A collision between two particles, or impact, results in a relatively large contact force acting over a very short period of time.  Such an impact involves material deformation (elastic and plastic), as well as dissipation of energy through the generation of heat and sound.  The precise force-time relationship is complex, but is not required to determine the total impulse involved during the impact.

8.3.1 Direct Central Impact

Consider two particles with mass m1  and m2  during the three stages of collinear impact:  (a) before impact the particles have velocities v1  and v2 , with v1  > v2 ; (b) during impact both particles momentarily assume identical velocity v; (c) after impact the particles have velocities v and v .  It is assumed that only the large contact forces are significant for the calculations, and that the particles remain rigid (i.e. no change in position of centres of mass during impact).

conservation of momentum: the contact forces during impact are equal and opposite, so the combined linear momentum of the two colliding particles must be conserved. Therefore:

m1 v1 + m2 v2  = m1 v + m2 v (8.6)

As only a single equation describes the two velocities v and v after impact, a unique solution cannot be found from momentum considerations alone.

coefficient of restitution: the ratio between the relative velocities before and after impact follows from an energy argument, and is defined by the coefficient of restitution:

(8.7)

where e 2 [0, 1].  For e = 1 all kinetic energy is conserved.

It is therefore tempting — but incorrect! — to speculate that the coefficient of restitution is the ratio of the kinetic energy after/before collision. A more detailed analysis of the impact reveals that:

where Ebc  and Eab  are the kinetic energy gained and lost in the two stages of the impact (stored in and released from elastic deformations), and Ibc  and Iab  are the impulse imparted.

The coefficient of restitution enables impact calculations, but also obscures details such as the precise contact forces.  Its value depends on the material properties as well as the velocity of impact and is generally determined experimentally.

purely inelastic impact: in a purely inelastic collision, with coefficient of restitution e = 0, the particles have the same velocity v\  after impact.

m1 v1 + m2 v2

Although momentum is conserved, the kinetic energy after impact is reduced:

∆T = m1 v 1(2) + m2 v2(2) { (m1 + m2 ) ╱ 、2

= (v1 { v2 )2

In fact, all kinetic energy can disappear during a collision! (When is this the case?)

Example 8.6 – Ballistic Pendulum

A  ballistic  pendulum  is an effective  method to  measure the velocity of a  projectile, without the  need for high-speed cameras.  It consists of a bifilar pendulum of length L that supports a sand box of mass M . The projectile is fired into the sand box, and its velocity can be determined from the maximum deflection angle θ .

θ

L

v0 Δ h

M

From conservation of linear momentum:

mvd  = (M + m)v\

the velocity v\  of the sand box and projectile directly after impact is found.

The maximum deflection angle θ is subsequently found through the conservation of energy; at the maximum deflection the velocity, and therefore kinetic energy, will be zero. The work-energy balance:

∆T+ ∆V = 0

┌0 { (M + m) v\2┐ + [(M + m) g∆h { 0] = 0

where

∆h = L (1 { cos θ)

gives

θ = arccos ╱ 1 { ╱ 、2 \

general impact In general, impact between particles will be partially elastic, as defined by the coefficient of restitution e, where 0 < e < 1. From the conservation of momentum and the coefficient of restitution, the velocities after impact are determined as:

m1 v1 + m2 v2 { e m2 (v1 { v2 )

m1 + m2

m1 v1 + m2 v2 { e m1 (v2 { v1 )

m1 + m2

The loss of kinetic energy over the impact can be calculated, and (after some algebra) reduces to:

∆T = (v1 { v2 )2

Example 8.7 – Two-Ball Bounce

In the classic two-ball bounce experiment a tennis ball is placed on top of a basket ball, and both are dropped simultaneously.

Q: How high will the balls bounce after impact with the ground?

It is assumed that the mass of the basket ball is much greater than that of the tennis ball (m2  >> m1 ), and a small (assumed) separation between the balls ensures that the impact can be modelled as two independent collisions: first, the basket ball hits the ground, bounces back, and then strikes the tennis ball. The coefficient of restitution between the balls is e12  and between the basket ball and the ground e2 .

g

impact between balls

1

2

From potential energy, we find velocity vd  of both balls at time of impact with the ground: vd  = {^2g (y2 { r2 )

After impact the upward velocity of the basket ball becomes:

v = {e2 vd

Next, the two balls travelling at v1  and v2  collide, giving the following velocities after impact:

µv1 + v2 { e12 (v1 { v2 )

µ + 1

µv1 + v2 { e12 µ (v2 { v1 )

µ + 1

where µ = m1 /m2 .  For the case of zero initial separation, substitute v2 年 v = {e2 vd  and v1 年 vd  to find:

µ { e2 { e12 (1 + e2 )

µ + 1

µ { e2 + µe12 (1 + e2 )

µ + 1

Taking the limit of the mass ratio µ = m1 /m2 年 0

v 年 { [e2 + (1 + e2 ) e12 ] vd

v 年 {e2 vd

and assuming purely elastic collisions, e2  = e12  = 1, this reduces to

v 年 {3vd

v 年 {vd

which means that the resulting velocity of the tennis ball can be up to 3 times its initial velocity. This means its kinetic energy will be 9 times greater, and thus launch 9 times higher than it started!

8.3.2 Oblique Central Impact

The methods described for direct central impact can be extended to a case where the intial and final velocities are not collinear. Consider two colliding particles of mass m1  and m2  and initial velocities U1  and U2 .

n v’ 1

1

θ 1

θ2

2

F

-F

The directions of the velocity vectors are measured in an nt-coordinate system, which is defined by axes normal and tangent to the contact point. It is assumed that the equal and opposite contact forces during impact only act in the n direction.  Four equations are needed to solve for the velocity vectors after impact:

❼  conservation of momentum in n-direction:

m1 v1n + m2 v2n  = m1 v n + m2 vn

❼  conservation of momentum in t-direction for both particles; as no impulse is applied: m1 v1t  = m1 v t

m2 v2t  = m2 vt

❼  coefficient of restitution in n-direction:

e = vn { v n

v1n  { v2n

These equations are solved simultaneously to find the components of the velocity vectors U and U .